1.Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngangĐỊNH NGHĨA 1 Đường thẳng $y = {y_0}$ được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y = f(x)$. nếu $mathop {lim }limits_{x o + infty } f(x) = {y_0}$ hoặc $mathop {lim }limits_{x o – infty } f(x) = {y_0}$ĐỊNH NGHĨA 2 Đường thẳng $x = {x_0}$ được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các điêù kiện sau được thoả mãn $egin{gathered} mathop {lim }limits_{x o x_0^ – } f(x) = + infty ;,,,mathop {lim }limits_{x o x_0^ + } f(x) = + infty ; \ mathop {lim }limits_{x o x_0^ – } f(x) = – infty ;mathop {lim }limits_{x o x_0^ + } f(x) = – infty ; \ end{gathered} $ VÍ DỤ Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thi hàm số$y = frac{{2x – 1}}{{x + 2}}$Giải Hàm số đã cho có tập hợp xác định $mathbb{R}ackslash left{ { – 2}
ight}$Vì $mathop {lim y=2}limits_{x o +infty }$ và $mathop {lim y=2}limits_{x o -infty }$ nên đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị (khi $x
ightarrow + infty $ và khi $x
ightarrow – infty $)Vì $mathop {lim y=- infty }limits_{x o (-2)^{+} }$ và $mathop {lim y=+ infty }limits_{x o (-2)^{-} }$ nên đường thẳng $y=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x
ightarrow (-2)^{-} $ và khi $x
ightarrow (-2)^{+} $)
2. Đường tiệm cận xiênĐỊNH NGHĨA 3 Đường thẳng $y = { ext{ax}} + b,,(a
e 0)$ được gọi là đường tiệm cận xiên ( gọi tắt tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu$mathop {lim }limits_{x o + infty } y = left< {f(x) - ({ ext{ax}} + b)}
ight> = 0$hoặc $mathop {lim }limits_{x o – infty } y = left< {f(x) - ({ ext{ax}} + b)}
ight> = 0$Ví dụ: Đồ thị hàm số $f(x) = x + frac{x}{{{x^2} – 1}}$ có tiệm cận xiên ( khi $x o + infty ,& ,x o – infty $) là đường thẳng y=x vì $mathop {lim }limits_{x o + infty } frac{x}{{{x^2} – 1}} = 0,,,& ,,,mathop {lim }limits_{x o – infty } left< {f(x) - x}
ight> = 0$
CHÚ Ý Để xác định các hệ số a,b trong phương trình của đường tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công thức sau: $a = mathop {lim }limits_{x o + infty } frac{{f(x)}}{x};,,,,,,b = mathop {lim }limits_{x o + infty } left< {f(x) - ax} ight>$Hoặc $a = mathop {lim }limits_{x o – infty } frac{{f(x)}}{x};,,,,,,b = mathop {lim }limits_{x o – infty } left< {f(x) - ax} ight>$(khi $a = 0$ thì ta có tiệm cận ngang)