Đạo hàm là gì? Đạo hàm là tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại điểm x0. Giá trị của đạo hàm thể hiện chiều biến thiên của hàm số và độ lớn của biến thiên này. Đạo hàm có ý nghĩa hình học và vật lý.
Đang xem: Số gia là gì, Ý nghĩa của Đạo hàm
Đạo hàm
Định nghĩa đạo hàm
Giới hạn, nếu có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại (x_0), khi số gia của đối số tiến dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số (y = f(x)) tại điểm (x_0).
Đạo hàm của hàm số (y = f(x)) được ký hiệu là (y”(x_0)) hoặc (f”(x_0)):
hoặc
Nói 1 cách dễ hiểu:Đạo hàm bằng delta y chia delta x với delta x là rất nhỏ giá trị đạo hàm tại 1 điểm (x_0) thể hiện:
Chiều biến thiên của hàm số (đang tăng hay đang giảm, xem đạo hàm tại đây dương + hay âm -)Độ lớn của biến thiên này (ví dụ: đạo hàm bằng 1 => delta y tăng bằng delta x)
Đạo hàm một bên
Đạo hàm bên trái của hàm số (y=f(x)) tại (x_0) là khi (Delta x o 0^-) (tức (x o x_0) và nhỏ hơn (x_0)) Ký hiệu: (f”(x_0^-))Đạo hàm bên phải của hàm số (y=f(x)) tại (x_0) là khi (Delta x o 0^+) (tức (x o x_0) và lớn hơn (x_0)) Ký hiệu: (f”(x_0^+))(y=f(x)) có đạo hàm tại (x_0) (f”(x_0) = f”(x_0^-) = f”(x_0^+))
Có đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Hàm số liên tục
Hàm số (y=f(x)) được gọi là liên tục tại (x_0) nếu (lim_{x o x_0} f(x) = f(x_0))
Chú ý: (y=f(x)) liên tục tại (x_0) nếu thỏa mãn đồng thời 3 điều kiện sau:
(f(x)) xác định tại (x_0).(lim_{x o x_0} f(x)) tồn tại.(lim_{x o x_0} f(x) = f(x_0)).
Xem thêm: Thuật Ngữ Truyện Thơ Nôm Là Gì, Thể Loại Truyện Nôm Và Sự
Nhắc lại giới hạn của hàm số: Giới hạn của hàm số – lim
Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm sốNếu hàm số (y=f(x)) có đạo hàm tại điểm (x_0) thì nó liên tục tại điểm đó.Nếu hàm số không liên tục tại (x_0) thì không có đạo hàm tại điểm đó.
Lưu ý: Hàm số liên tục tại điểm (x_0) thì chưa chắc có đạo hàm tại (x_0)
Ý nghĩa của đạo hàm
Ý nghĩa hình học
Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm (x_0) là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm (M(x_0, f(x_0))) đó.
=> Phương trình của tiếp tuyến tại điểm M: (y – y_0 = f”(x_0) (x – x_0))
Ý nghĩa vật lý
Xét chuyển động thẳng (s = f(t))
Khi đó vận tốc tức thời tại thời điểm (t_0) là: (v(t_0) = s”(t_0) = f”(t_0))
Còn gia tốc tức thời tại thời điểm (t_0) là đạo hàm cấp 2 của phương trình chuyển động:
Giả sử điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình:
Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm (t_0): (I(t_0) = Q”(t_0) = f”(t_0))
Bài tập đạo hàm: Tổng hợp các dạng bài tập đạo hàm (2018)
Ta thường nghe đến vi phân sau khi học đạo hàm. Mời bạn tham khảo bài Vi phân là gì? để nắm định nghĩa ngắn gọn nhất về nó.