Đặt bài toán
Có một bài toán: Cho V là không gian vector hữu hạn,
là một toán tử tuyến tính trên V. Ta đã biết ma trận của T phụ thuộc cơ sở chọn trong V. Ta mong muốn có một cơ sở sao cho ma trận của T có dạng đơn giản như dạng chéo chẳng hạn. Hỏi có hay không một cơ sở trực giao trong V sao cho ma trận của T đối với cơ sở đó là một ma trận chéo?
Bài toán 2: Cũng một giả thiết trên. Hỏi có hay không một cơ sở trực giao trong V sao cho ma trận của T đối với cơ sở đó là một ma trận chéo?
Cách giải
Giả sử A là ma trận của T đối với cơ sở xác định nào đó trong V. Ta xét một phép đổi cơ sở. Theo định lý ma trận của ánh xạ tuyến tính thông qua phép biến đổi cơ sở thì ma trận mới của T sẽ là
trong đó P là ma trận đổi cơ sở.
Đang xem: Tài liệu chéo hóa ma trận là gì, tài liệu chéo hóa ma trận chọn lọc
Vậy bài toán đầu tiên tương đương với bài toán sau: Hỏi có tồn tại một phép biến đổi cơ sở để ma trận mới của T đối với cơ sở mới là ma trận chéo?
Nếu V là một không gian có tích vô hướng và những cơ sở là trực chuẩn thì theo định lý “Nếu P là ma trận chuyển cơ sở từ một cơ sở trực chuẩn sang một cơ sở trực chuẩn mới thì nó trực giao, tức là
trong đó P^t là ma trận chuyển vị, I là ma trận đơn vị, do đó
“, P là trực giao.
Định nghĩa
Cho ma trận vuông A. Nếu tồn tại một ma trận khả đảo P sao cho
là ma trận chéo thì ta nói ma trận A chéo hoá được hay P chéo hoá cho A. Như vậy A chéo hoá được nếu nó đồng dạng với một ma trận chéo.
Giải bài toán chéo hoá ma trận
Giả sử A là ma trận vuông cấp n (n nguyên dương). Điều kiện cần và đủ để A chéo hoá được là nó có vectơ riêng độc lập tuyến tính.
Chứng minh: Giả sử A chéo hoá được, tức là tồn tại P khả đảo trong đó
,
sao cho
, với
.
Ta suy AP = PD.
Gọi
là các vectơ cột của P, ta thấy các cột liên tiếp của AP là
. Đồng thời
Vậy phương trình AP = PD cho thấy
Vì P khả đảo nên các vectơ
do đó
là các trị riêng của A và
là các vectơ riêng tương ứng.
Cũng do P khả đảo nên định thức của nó khác 0 và các vectơ
độc lập tuyến tính.
Vậy khi A chéo hoá được thì nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính.
Quy trình chéo hoá một ma trận
B1: Tìm n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A:
B2: Lập ma trận P có dãy vectơ trên làm các cột
B3: Ma trận
sẽ là ma trận chéo với
là các phần tử chéo liên tiếp, trong đó
là các trị riêng ứng
, i = 1,2,…,n.
Xem thêm: Tìm Hiểu Webcam Là Gì, Dùng Để Làm Gì, Mua Ở Đâu? Tìm Hiểu Về Webcam
Chéo hoá ma trận có n trị riêng khác nhau
Định lý
Nếu ma trận A vuông cấp n có n trị riêng ứng khác nhau thì A chéo hoá được.